第三讲 数学教育理论（上）〇、开场白一、皮亚杰的认知发展理论1.1 前运算阶段1.2 具体运算阶段1.3 形式运算阶段二、奥苏伯尔的有意义学习理论2.1 认知结构与有意义学习2.2 数学有意义学习的基本形式三、操作性学习理论
经过前面两讲，大家对于当代的数学教育应该已经有了一些理念上的转变。但是只有理念是不够的，我们还需要一些数学教育的理论，这里既有学的理论，也有教的理论。首先我们聊一聊学数学的事情。上一次课我们提到一个现象，很多孩子在初一的时候，数学学习会出现很大的不适应，但是如果能跨过这道坎那么后面相对顺利一些。这个现象暗示我们：人的数学学习能力的发展是由一定的阶段性的。而且更一般地说，不仅仅是数学学习能力，实际上，人的整个认知能力的发展都是有阶段性的。最早全面研究这个问题的是瑞士心理学家皮亚杰。
比较有趣的是，皮亚杰本人似乎就是一个早慧的神童，他的成长似乎“跨越”了阶段性。他最初研究生物学，十几岁就开始发表论文，21岁获得生物学博士学位。随后几年间，他陆续有了两个女儿和一个儿子。儿女的成长使他对儿童的认知发展过程产生了浓厚的兴趣。随着他对他三个儿女的成长历程的观察研究，他逐渐意识到人类的认知发展过程是有阶段性的，不能盲目跳过某个阶段，必须按部就班。他将人类的认知发展分为四个阶段，即感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。
感知运动阶段，大致时间是儿童从出生到2岁左右。在这个阶段，儿童主要发展了它们对外部世界的直观感受，他们的语言和思维还处于一种朦朦胧胧的状态。我们一般认为，在这个阶段儿童几乎没有数学学习能力，数学教育也自然无从谈起。我们数学教育者真正关注的是后面三个阶段。
大约2岁到7岁，在我国基本上是幼儿园阶段。
在这一阶段，儿童逐渐形成了语言能力，进而可以用语言来表达他们对客观世界的理解。同时，儿童开始学会计数了，但是这个计数常常需要依赖于具体实物，比如说，3 个苹果、3 个人、3 个手指，他们还很难摆脱实物，也不容易理解 3 是所有三个物品所抽象出的一种共性。例如，我们也常常会发现，正在上幼儿园的儿童在计数时会“数手指头”，这种现象在儿童七岁以后就不常见了，这就是前运算阶段儿童学习数学的一个重要特征。南京师范大学的涂荣豹老师称其为概念的“实物表象性”（涂荣豹等：《新编数学教学论》，上海：华东师范大学出版社，2006）。这表明这个阶段的儿童不宜进行抽象的概念学习，而应该尽可能依靠实物使其理解计数和“实物表象式”的运算。
由于计数和运算只能依托于实物，所以这一阶段的儿童不能理解“守恒性”。比如，先给他一碗牛奶，然后再将之倒入一个瘦高的杯子中，此时这个年龄段的孩子很可能会很开心地认为牛奶变多了，而无法意识到牛奶的总量其实是“守恒的”。这是因为，这个阶段的儿童无法抽象地理解数量，他们只能通过高矮、长短这种表象化的东西来进行初步的逻辑判断。这也就意味着，他们很难理解可逆性的运算，比如说，树上有 3 只鸟又飞来 2 只鸟，他可以理解：3+2=5，但是从这里入手他们很难理解 5-2=3（尽管可以通过实物学习简单的减法）。
大约7岁到11岁，在我国基本上是小学阶段，尤其是小学低年级。
此阶段的儿童已经可以理解守恒性和运算可逆了。思维已经从实物表象性过渡到了内心表象性，直接的特征就是在熟悉的情景和对象的支撑之下，已经可以很大程度上脱离实物直接对数量进行运算。但是仍然很难理解抽象的概念，也很难进行抽象的运算。在代数上看，更适合数字运算，但是很难理解“用字母代替数字的运算”；从几何上看，可以适当地观察一些几何图形，但是很难学习几何推理。代数和几何的大门只是向他们开启了一段窄窄的门缝，而并未彻底打开。对于这一阶段儿童的数学教育，请记住教育家弗拉维尔的一句话：“儿童不是理论家！”
因此，我国小学数学教学内容上说，
为了阐述这一阶段数学学习的特点，有一个典型的“难题”可以为例，即所谓“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（《孙子算经》）
如果解题者是任何一个接受过初中教育的人，那么这题根本不是难题，因为可以很容易列出方程组：设笼子中有只鸡、只兔子，那么可以列出如下方程组：
但是，如果解题者是具体运算阶段的儿童，由之前的分析可知，他们是很难理解这种方法的。而你如果是一个小学数学教师，要给学生讲这个题，也不能这样讲。下面的所谓“假设法”就充分考虑到了小学生的认知特点：
但是，如果解题者是具体运算阶段的儿童，由之前的分析可知，他们是很难理解这种方法的。那么如果你是一个小学数学教师，你会怎么讲呢？
下面的所谓“假设法”就充分考虑到了小学生的认知特点：
假设笼子里全部是鸡，那么应该有70只脚，但是实际有94只脚，多出了94-70=24只脚。这24只脚只能来自兔子，每个兔子比鸡多2只脚，所以兔子有12只。由于鸡和兔子一共有35只，所以鸡有35-12=23只。
当然，这里还有另一个问题：小学生可以理解这个解法，但是你作为老师应该从更高的层次来思考这个解法的本质是什么？
假设笼子里全部是鸡，实际上得到了等式，记为（3）式；
多出了只来自兔子的脚，其实是用方程组中的（2）式减去（3）式；
可见，上述解法的本质是加减消元法。
当然，我们在具体使用“假设法”的时候，可以处理得更艺术一些。
大约为11岁以后，在我国基本上是初中以及以后。
通常在小学高年级，孩子已经开始学习一些简单的一次方程和简单的几何推理，这些为学生由具体运算阶段向形式运算阶段的转变提供了过渡。
重大飞跃发生在初一。他们逐渐可以真正地摆脱具体的对象而展开抽象思维了。在数学学习上的直观体现，就是他们已经可以理解“用字母代替数字的运算”，并且已经开始具备一定的空间想象和推理能力了。代数和几何的大门正式向他们打开。他们或适应或不适应地发现，数学习题里出现了一种他们以前从未见过的题型——证明题，同时应用题开始适当地减少。这些都是培养学生数学抽象和数学推理能力的需要。
以人教版初中教材为例，
可见，初一是一个重大的时间节点。此时的数学教学已经明显向“形式运算”和“抽象思维”的方向转变，但是并不是所有都开始了这个转变，如果学生的转变比较慢，那么他的数学学习就会陷入痛苦，逐渐产生厌学弃学的心态，最后有可能变成“数学贫困生”。
作为未来的数学教师，请大家注意：这个过程循序渐进，但是速度因人而异。有的人需要整个初中阶段完成，有的人在高中阶段才实现，而有的人很可能永远无法到达这一阶段，有的人即使到达了这一阶段，也仅仅是在某些特殊场合才会使用抽象思维。所以，任教于初一的数学教师，一定要对学生的转变速度加以观察，通过教学来引导和帮助学生尽快完成这一转变。
最后，现实中也确实有“智力超常”的儿童存在——也就是他比别人快得多地走过前三个阶段，比如当代美国华裔著名数学家陶哲轩。因此，一方面，一旦发现比常人更快进入某个阶段的儿童，比如某个 7-11 岁的儿童自发地发现某些形式运算的方法，数学教育者应该对此重视并区别对待；另一方面，任何人，包括智力超常者，也不可能跳过某个阶段，所以数学教育者切不可以过度灌输超越发展阶段的数学知识。
皮亚杰的认知发展理论着眼的是跨越几十年的漫长求学人生。在如此漫长的求学人生中，作为学生，他肯定希望他的学习是有意义的，下面我们就介绍一下奥苏贝尔的有意义学习理论。
近几十年，无论是教育界还是社会上，人们有一个比较统一的认识，那就是反对“灌输式教学”。那么，各位未来的老师们，我想请你们来聊一下：
什么是“灌输式教学”？你们觉得你们所接受的中小学数学教育是不是“灌输式”的？“灌输式教学”有什么坏处？
灌输式教学忽视了学生已有的知识结构和思维方式，更准确地讲，它忽视了学生自身的认知结构。
简单地说，认知结构就是学习者头脑里的知识结构。具体到我们的数学教育中来，我们就要考虑数学认知结构。曹才翰老师在《数学教育概论》中对数学认知结构做了如下的定义：
数学认知结构，就是学习者把头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。
由此我们可以看出：
从认知结构上讲，美国心理学家奥苏伯尔提出了有意义学习的理论。他认为：
有意义学习：学生自主地将新知识与原有认知结构中的相关知识建立起非人为的实质性的联系，从而完善认知结构
从奥苏伯尔的理论来看，
数学学习不应该是教师从外界强加的，而是教师引导学生将新知识融入旧有认知结构，最终使得新知识与旧知识形成实质性的联系，从而建立起新的认知结构。
有意义的数学学习可以分为四种情况：
对于前两个，我们简要介绍一下，重点是后两个
数学的表征学习是将数学的名词、符号所代表的具体对象，在认知结构里建立起本质关系。
例1. 学习数学名词“三角形”。学生只要与自己认知结构中的三角尺、房顶、红领巾等物联系起来，就实现了“三角形”这一数学名词的表征学习。
有时候表征学习并不简单直接。
例2. 高中学习函数符号。符号不应该与联系，而是应该与初中所学的那些函数联系，诸如一次函数，反比例函数相联系。
表征学习可以增强数学名词符号的直观性，获得有关他们的直观背景和丰富经验，为数学名词符号的抽象意义提供直观模型。
数学的概念学习是通过原有的认知结构获得数学名词所代表的数学对象的本质属性。
例3. 学习数学名词“三角形”
学生在学习任何一个数学名词的时候，应该经历两个方面的学习，既要有表征学习、又要有概念学习。所以教师在讲概念的时候，一定要讲两个方面：一是相关数学对象的本质属性，二是通过举例进行辨析，这种辨析往往是从正反两个方面来进行的。
下面我们重点来说一下同化和顺应。
如果新知识与原有的数学认知结构中某些知识联系很紧密，那么通过新旧知识的相互作用，新知识就被纳入原有的数学认知结构，从而扩大了它的内容，这种作用过程称为同化。如果新知识在原有的数学认知结中没有适当的旧知识与它联系，或者虽然有但是联系很弱，那么数学学习的过程就是对原有的数学认知结构进行改组，或者至少是部分改组，进而形成新的数学认知结构，并把新的知识接纳进去，这种作用过程叫做顺应。
我们数学系大一新生都要学空间解析几何这门课。这个课有两个重点，一是平面的方程，一是空间直线的方程。我当时在设计这两个教学内容的时候，就借鉴了奥苏伯尔的同化学习和顺应学习。
（一）空间直线的方程
空间直线的方程，是从“点向式方程”入手的。
所谓点向式方程，也就是已知直线上一点与直线的方向向量，然后求出直线的方程，即。
如果在教学的时候，不管大一学生原有的认知结构，而是硬生生地直接讲空间直线的点向式方程，那就是灌输式的教学，是不利于学生学习新知识的。
那么大一新生的原有的认识结构里有没有关于直线方程的内容呢？有，就是中学里学的平面解析几何里的平面直线的方程。中学阶段也会学到（平面）直线的点向式方程，但是用得很少，学生们印象最深的其实是点斜式方程（斜截式也是特殊的点斜式）。
所谓平面直线的点斜式方程，就是已知直线上一点与直线的斜率，然后求出直线方程，即。
在讲解空间直线的点向式方程的时候，可以先从平面直线的点斜式入手，然后分析点斜式方程在研究空间直线的时候还能不能用？当然不能用，哪里出了问题？空间直角坐标系有三个坐标，而斜率只是两个坐标的变化量之比，显然斜率已经没有意义了。所以需要一个东西代替斜率的作用。那么斜率在平面直线的点斜式方程上起什么作用？它体现了直线的方向。那么在空间直角坐标系中，什么能体现直线的方向？当然一个与直线平行的向量，这就自然引出了直线的方向向量。然后有了直线上一点的坐标与直线的方向向量怎么求直线的方程？再借助学生们在前几节课上已经学的求动点轨迹的向径法就可以展开具体的推导了。这就是在学生原有认知结构基础上，同化了新知识。
（二）平面的方程
空间解析几何的课上还要讲平面的方程。这和空间直线的方程的讲授方法又不一样了。因为学生原有的认知结构中没有平面方程的内容，中学里只是学习了立体几何里关于平面的一些知识，比如三点确定一个平面、平面上一直线与平面上不落在该直线上的一点确定一个平面等等。这个时候，我们就不能使用同化这个作用过程了，而应该考虑顺应。
也就是说，我们要对学生原有的知识结构进行一种改组，使之接受新知识。具体来说，如果我们要讲平面的点位式方程，即
已知平面上一点和平面的两个方位向量和（平面的方位向量是两个平行于该平面且不共线的向量），然后求平面的方程。
高中的立体几何中有一个结论：
平面上一直线与平面上不落在该直线上的一点确定一个平面。
我们可以适当改造这个知识点，从此处入手引导学生思考：在空间解析几何中，我们总是要用向量来思考的，那么这里的“平面上一直线”能不能换成“与平面的平行的一个向量”呢？经过讨论，学生们会发现：不行，这样不能确定唯一的平面，必须加条件——直接的想法：一个向量不行，那就两个向量，这就引出了平面的方位向量的概念。此时，学生原有的认知结构中关于“确定一个平面的条件”这一部分就发生了重组，从“平面上一直线与平面上不落在该直线上的一点确定一个平面”派生出了“平面上一点与平面的两个方位向量可以确定一个平面”。而后者就为继续学习平面的点位式方程留下了认知结构中的一个位置。
（三）用字母代替数字运算
我们再讲皮亚杰的认知发展理论的时候说过：很多学生在经历“具体运算阶段”向“形式运算阶段”的过渡期会出现学习障碍。最早就是在初一学习用字母代替数字运算的时候会体现出来。
我们作为数学教师就要思考：
学生原有的认知结构里什么内容与之直接相关？
我们很容易想到小学数学计算主要是数的运算，而使用字母代替数字运算的好处在于能够“先化简再求值”。所以应该从这个角度对学生原有的认知结构进行改造，可以让学生体验使用同样的运算步骤对不同的数字运算，经过对比让学生感觉到用字母代替数字进行运算是顺利成章的（图片见PPT）。
奥苏伯尔的有意义学习还给我们另一个提醒：新授课需要导入，导入的作用不仅仅是引起学生注意，还要引发学生认知结构中与本次课有关的知识，从而实现有意义的学习。
作业：对“高中必修1（人教版）第1.1.1节 集合的含义和表示”设计10分钟的一个新授课。
请大家注意，有意义学习是有条件的：
与“有意义的学习”相对的是机械学习。
讨论：你们对机械学习有什么看法？
- 探究式学习一定是有意义学习吗？
- 讲授式教学一定走向灌输式教学吗？
恰恰相反，探究式学习有可能探究出毫无意义的东西，而好的讲授式教学却有可能给学生带来有意义的学习。我女儿一周岁的时候偶然发现按动电灯开关可以导致电灯点亮或关闭，这个过程完全是自主的、探究式的，但同时不是有意义的，因为它并不会让我的女儿理解电灯会亮的实质。类似地，在2000年前后，在某些学校尝试“在做中学数学”，学生也很喜欢去做。问题在于，学生在做的过程中更多地是动手，而并没有足够地动脑。“做”，固然是做了但是没有通过“做”，学到数学。与之相对的，传统的讲授法经过合理的教学设计完全可以给学生带来有意义的学习。比如，十几年前的《百家讲坛》，现在很多优秀的MOOC（例如，丘维声的高等代数）。如果对它们仔细调查你回发现，其中很多内容是通过讲授法实现的。总之一句话，
形式上的创新在实质上可能是无效的；形式上的保守反而可能带来高效。
所以，在同学们工作以后，当你面临某些赶时髦、追潮流的教学改革的时候，请你不妨皱起眉头思考一下。
前两个数学学习理论，实际上是属于认知心理学的研究范畴。下面我们从心理学的另一个主要流派行为主义心理学的角度来探究一下数学学习。这就是操作性学习理论。
美国行为主义心理学家桑代克认为，学习是一个不断“试错”的过程。正是通过“试错”的过程，刺激与反应之间建立了“联结”，从而实现了学习。他的后继者斯金纳更是将这种通过“试错”实现“联结”的理论发展成为了“操作性学习理论”。需要注意的是，仅仅一次试错是无法实现“联结”的，因此，操作性学习理论强调学习需要大量的练习。关于这个理论，大家可以自行搜索“饿猫迷笼实验”。
20世纪20年代，桑代克编写了《算术心理学》，就体现了这种学习理论之下的数学学习观。他的核心思想就是：首先将所要学习的数学内容分解成若干小片段，然后让学生按步骤进行操作。对每个小片段反复训练，克服错误。如果所有的小片段都操作熟练了、错误很少了，那么这个数学内容就学会了。
比如说，他将两位数的竖式乘法分解为十五个步骤，《数学教育概论（第三版）》（张奠宙等）的116页详细列出这些步骤。他认为学生反复熟悉这十五个步骤就能学会竖式乘法。
对于操作性数学学习理论，我们应该从正反两个方面去理解。
数学学习确实需要足够的训练，也就是大量做题，而做每个数学题，确实都有一个实现步骤的问题。我们不应该片面地说，学习数学只需要关注认知结构就足矣。即使我们到了大学，学习那些非常高深的数学，我们依然需要大量地做题，来巩固和熟悉我们所学的知识、训练我们的数学技能、形成我们的“数感”。我们不妨做个类比。学数学跟学体育比较，虽然两者天差地别，但是却有一个相似之处。先看体育，一个体育系的学生需要什么样的素质？当然是足够强的体能体力和身体灵活性。怎么获得？只能是反复的体育训练。同样的，对一个数学系的学生，或者一个学数学的学生而言，我们需要培养他什么？当然是掌握数学知识和数学能力。如何实现？训练，数学训练——也就是做数学题。前几年，有一个著名新闻，英国引进上海小学数学教学体系。一个重要的原因就是：我们的小学数学教学仍然保留了大量的分步骤的数学训练。这是我们的一个优势。虽然现在提倡“减负”，但是不应该把优势抛弃。我们应该有批判地继承。
而且我认为不应该过度反感教学实践中的背诵和记忆，前提是在学生已经理解的前提下。比如，小学的九九乘法表、中学的某些口诀（奇变偶不变、符号看象限）。
这个理论还提醒未来的数学教育工作者们：在实际工作中，仅有好的教学设计和好的教学是不够的，我们还需要“执行力”，也就是你能不能在实现好的教学之后，完善后续工作，即督促学生完成练习、给学生答疑、纠正学生做题中出现的错误，从而完成桑代克所说的“试错”的过程。这也是我国小学数学胜过英国的原因之一。我们各级教育部门（从国家到各个学校）有各级的数学教研机构，它们的逐级督促和约束，实现各级的“执行力”。这重重的执行力，最终保证了学校教学的有效性。请大家思考一下：
如今大学教育的有效性如何呢？当大家进入大学以后，没有人督促你们学习，尤其是课后作业以及作业的订正，也缺乏足够的来自任课教师的答疑，那么我们大学教育的有效性应该如何保证？
同时，行为主义的操作性数学学习理论有两大弊端。第一、大量的练习很容易演变成“题海战术”。第二，操作性学习理论将一个数学内容的学习拆解成一系列步骤，也叫所谓“程序教学法”。这容易造成学生过度关注部分而忽视整体，即所谓只见树木不见森林。也容易使学生的数学学习流于表面的“做题程序”而没有深刻地思考，这就是“只顾低头拉车，不顾抬头看路”。
当我们把行为主义的学习观和认知主义的学习观结合起来，我们才能发现，优秀的数学学习应该既关注认知结构的变化又关注操作性、步骤性的训练，应该既注重有意义的学习又注重数学训练，而作为教育工作者既要重视教学又要重视教学之后巩固和练习。