第三讲初等数学中的平面欧氏几何（下）

3.1 三角形相似

定理3.1 $a,b,c,\dots$ 是实数，且下列等式中的分母都不是零，则有如下结论．

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ ．
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}$ $\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$ $\Box$

定理3.2 $l_1\parallel l_2\parallel l_3$ $l_4$ $l_5$ $l_1,l_2,l_3$ $A,B,C$ $D,E,F$ ，则有

\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.

03-tailes

证明 $AB=BC$ $A$ $l_5$ $l_2$ $B'$ $B$ $l_5$ $l_3$ $C'$ $\angle AB'B=\angle DEB'$ $\angle BC'C=\angle EFC'$ $l_2\parallel l_3$ $\angle DEB'=\angle EFC'$ $\angle AB'B=\angle BC'C$ $l_2\parallel l_3$ $\angle ABB'=\angle BCC'$ $AB=BC$ $\triangle ABB'\cong \triangle BCC'$ $AB'=BC'$ $AB'ED$ $BC'FE$ $DE=AB'=BC'=EF$ 。结论得证。

$AB\ne BC$ $AB<BC$ 。以下分两种情况给出证明。

$m$ $n$ $\frac{AB}{BC}=\frac{m}{n}$ $AB$ $BC$ $AB$ $m$ $BC$ $n$ 等分，仍然使用(1)的证明方法，很容易得到结论。

$AB$ $BC$ $\varepsilon$ $r<\varepsilon<s$ $r$ $s$ $r<\frac{DE}{EF}<s$ 。

$\varepsilon$ $r$ $BA$ $R$ $RB=r\cdot BC$ $R$ $AD$ $l_5$ $Q$ $\frac{QE}{EF}=\frac{RB}{BC}=r$ $\varepsilon$ $s$ $BA$ $S$ $SB=s\cdot BC$ $S$ $AD$ $l_5$ $T$ $\frac{TE}{EF}=\frac{SB}{BC}=s$ $RB<AB<SB$ $r<\varepsilon<s$ $r$ $s$ $QE<DE<TE$ $r<\frac{DE}{EF}<s$ $r<\varepsilon<s$ $r$ $s$ $r<\frac{DE}{EF}<s$ 。

$\frac{DE}{EF}=\varepsilon$ $\frac{DE}{EF}\ne\varepsilon$ $\frac{DE}{EF}>\varepsilon$ $s_0$ $\frac{DE}{EF}>s_0>\varepsilon$ $\varepsilon<s_0$ $\frac{DE}{EF}<s_0$ $\Box$

使用比例的性质和平行截线定理很容易证明如下的推论。

推论3.3 $l_1$ $l_2$ $l_3$ $l_4$ $A$ $l_3$ $l_4$ $l_1$ $B,C$ $l_2$ $D,E$ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ 。

证明 $A$ $h$ $l_1$ $l_2$ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ $\Box$

$\triangle ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\angle A=\angle A'$ $\angle B=\angle B'$ $\angle C=\angle C'$ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$ $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C'$ 相似 $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ 对应角 $\angle A$ $\angle A'$ 对应边 $AB$ $A'B'$ ；对应边上的高、中线和角平分线分别叫做对应高、对应中线和对应角平分线；对应边的比例叫做这对相似三角形的相似比。

显然，对应高之比、对应中线之比和对应角平分线之比都等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相比的平方。下面给出相似三角形的五个判定定理。

定理3.4 $\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3$ $\Omega_1\cong \Omega_2$ $\Omega_2\sim\Omega_3$ $\Omega_1\sim \Omega_3$ $\Box$

定理3.5 $\triangle ABC$ $D,E$ $AB$ $AC$ $DE\parallel BC$ $\triangle ADE\sim \triangle ABC$ 。

证明 $DE\parallel BC$ $\angle ADE=\angle B$ $\angle AED=\angle C$ $\angle A$ $\triangle ADE$ $\triangle ABC$ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$ $D$ $AC$ $BC$ $F$ $DECF$ $DE=FC$ $\frac{DE}{BC}=\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{AB}$ $\Box$

定理3.6 两组对应角分别相等的两个三角形相似．

证明 $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\angle A=\angle A'$ $\angle B=\angle B'$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $AB=A'B'$ $AB>A'B'$ $AB$ $D$ $AD=A'B'$ $D$ $BC$ $AC$ $E$ $\angle ADE=\angle B=\angle B'$ $\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'$ $\triangle ADE\sim \triangle ABC$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $\Box$

定理3.7 两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．

证明 $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$ $\angle A=\angle A'$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $AB=A'B'$ $AB>A'B'$ $AB$ $D$ $AD=A'B'$ $D$ $BC$ $AC$ $E$ $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$ $AE=A'C'$ $\triangle ADE\cong \triangle A'B'C'$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $\Box$

定理3.8 三组对应边成比例的两个三角形相似。

证明 $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $AB=A'B'$ $AB>A'B'$ $AB$ $D$ $AD=A'B'$ $D$ $BC$ $AC$ $E$ $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$ $AD=A'B'$ $AE=A'C'$ $DE=B'C'$ $\triangle ADE\cong \triangle A'B'C'$ $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ $\Box$

使用定理3.5还可以证明三角形内角平分线的一个重要性质。

定理3.9 $\triangle ABC$ $D$ $BC$ $AD$ $\angle BAC$ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ 。

证明 $D$ $AC$ $AB$ $E$ $\angle EDA=\angle CAD=\angle EAD$ $EA=ED$ $DE\parallel AC$ $\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EA}=\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{AC}$ $\Box$

$C$ $AB$ $AC>BC$ $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$ $C$ $AB$ 黄金分割点 $\frac{AC}{AB}$ 为黄金分割比。

定理3.9 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。

证明 $\frac{BC}{AC}=x$ ，那么

x=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AC+BC}=\frac{1}{1+\frac{BC}{AC}}=\frac{1}{1+x}

$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $\Box$

3.2 圆

到定点距离等于定长的点的全体构成的图形叫圆，这里的定点叫圆心，定长叫半径；连接圆上两点的线段叫圆的弦，经过圆心的弦叫圆的直径（有时也将直径的长度叫做直径）。

$O$ $r$ $\odot(O,r)$ $\odot O$ $A$ $B$ $\odot O$ $AB$ $\odot O$ 弦 $\angle AOB$ $AB$ 圆心角 $\odot O$ $A$ $B$ $C$ $\angle ACB$ $AB$ 所对的一个圆周角。显然，直径是圆的一个弦。

定理3.10 直径所对的圆周角为直角。

证明 $AB$ $\odot O$ $C$ $A$ $B$ $\angle ACB=90^\circ$ $OC$ $OA=OB=OC$ $\angle ACB$ $\triangle ABC$ $\Box$

$AB$ $\odot O$ $\odot O$ $A$ $B$ $\odot O$ 弧 $A$ $B$ 叫做这两个弧的端点内点 $AB$ $\odot O$ 半圆 $AB$ $\angle AOB$ $AB$ 劣弧 $\widehat{AB}$ $\angle AOB$ $\widehat{AB}$ $AB$ 优弧 $C$ $\widehat{ACB}$ 。

如果平面上的两条弧经过平面上的运动后可以完全重合，我们就说这两条弧全等，全等的两条弧叫等弧；如果平面上的两个圆经过平面上的运动后可以完全重合，我们就说这两个圆全等，全等的两个圆角等圆。

如下定理很容易得证。

定理3.11 $\Box$

定理3.12 $\Box$

定理3.13 $\Box$

定理3.14 $\Box$

定理3.15 $\Box$

下面我们考虑直线与圆的位置关系。

$a$ $\odot O$ $a$ $\odot O$ $a$ $\odot O$ 相交 $a$ $\odot O$ 交点 $a$ $\odot O$ $a$ $\odot O$ 相切 $a$ $\odot O$ 切点 $a$ $\odot O$ 切线 $a$ $\odot O$ $a$ $\odot O$ 相离。

定理3.16 切线垂直于过切点的半径．

证明 $a$ $\odot O$ $A$ $OA$ $a$ $O$ $OB\bot a$ $B$ $A\ne B$ $AB$ $C$ $CB=AB$ $OC=OA$ $C$ $\odot O$ $a$ $\odot O$ $\Box$

定理3.17 与直径垂直且垂足为直径端点的直线与圆相切．

证明 $\Box$

定理3.18 $\Box$

下面我们考虑两圆的位置关系。

内含、内切、相交、外切、外离、公切线……

下面我们讨论一下多点共圆的问题。

定理3.19 平面上不共线的三点确定唯一一个圆．

证明 $A,B,C$ $\odot(O,r)$ $A,B,C$ $\odot(O,r)$ 上。

$AB$ $BC$ $l_1$ $l_2$ $A,B,C$ $l_1$ $l_2$ $O$ $OA=r$ $O$ $r$ $\odot(O,r)$ $A$ $\odot(O,r)$ $B$ $C$ $\odot(O,r)$ $\odot(O,r)$ 是我们要找的圆。

$\odot(O',r')$ $A,B,C$ $O'$ $AB$ $BC$ $O'$ $O'=O$ $r'=O'A=OA=r$ $\Box$

$\odot O$ $\odot ABC$ 。

定理3.20 对角互补的四边形内接于圆．

证明 $ABCD$ $\angle A$ $\angle C$ $\angle B$ $\angle D$ $A,B,C,D$ $A,B,C$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $AD$ $\odot O$ $D_1$ $CD_1$ $\angle B+\angle D_1<\angle B+\angle ADC=180^\circ$ $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D_1<360^\circ$ $D$ $\odot O$ $AD$ $\odot O$ $D_2$ $CD_2$ $\angle B+\angle D_2>\angle B+\angle ADC=180^\circ$ $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D_2>360^\circ$ $\Box$

定理3.21 $C,D$ $A,B$ $\angle ACB=\angle ADB$ $A,B,C,D$ 四点共圆．

证明 $A,B,C$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $\odot O$ $D$ $\odot O$ $AD$ $\odot O$ $D_1$ $BD_1$ $\angle AD_1B=\angle ACB=\angle ADB$ $\angle ADB$ $\triangle BDD_1$ $D$ $\odot O$ $AD$ $\odot O$ $D_2$ $BD_2$ $\angle AD_2B=\angle ACB=\angle ADB$ $\angle AD_2B$ $\triangle BDD_2$ $\Box$

下面我们考虑与圆相关的其他概念与问题。

正多边形的中心、半径、中心角、边心距；圆的周长公式、面积公式；弧长公式；扇形面积公式．

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3.1 三角形相似

3.2 圆

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