第二讲初等数学中的平面欧氏几何（中）2.1 平行线与相交线2.2 四边形2.3 面积和勾股定理

第二讲初等数学中的平面欧氏几何（中）

2.1 平行线与相交线

平行 $a$ $b$ $a\parallel b$ 。

公理2.1 （平行公理）过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

使用公理2.1很容易证明如下结论。

定理2.2 在平面上，平行于同一直线的两条直线平行．

证明 $a,b_1,b_2$ $a\parallel b_1$ $a\parallel b_2$ $b_1$ $b_2$ $A$ $A$ $a$ $\Box$

$a,b,c$ $c$ $a,b$ $A,B$ $A,B$ $\angle 1$ $A$ $\angle 2$ $B$ 为顶点的一个角。

$\angle 1$ $\angle 2$ $c$ $\angle 1$ $\angle 2$ 互为同位角；
$\angle 1$ $\angle 2$ $c$ $\angle 1$ $\angle 2$ 互为同旁内角；
$\angle 1$ $\angle 2$ $c$ $\angle 1$ $\angle 2$ 互为内错角。

定理2.3 $A_1A_2$ $B_1B_2$ $c$ $A_1A_2\parallel B_1B_2$ 。

02-1-tongwei

证明 $A_1A_2$ $B_1B_2$ $c$ $A$ $B$ $A$ $A_1$ $A_2$ $B$ $B_1$ $B_2$ $A_1$ $B_1$ $c$ $BA$ $D$ $\angle DAA_2=\angle DBB_2$ $A_1A_2\parallel B_1B_2$ 。

$A_1A_2\not\parallel B_1B_2$ $C$ $A,B,C$ $C$ $A_2$ $B_2$ $c$ $\angle DAA_2>\angle DBB_2$ $C$ $A_1$ $B_1$ $c$ $\angle DAA_1=\angle DBB_1$ $\Box$

使用同位角法则再结合补角、对顶角，很容易证明内错角法则和同旁内角法则。

定理2.4 $a$ $b$ $c$ $a\parallel b$ $\Box$

定理2.5 $a$ $b$ $c$ $a\parallel b$ $\Box$

同位角法则、内错角法则和同旁内角法则都是平行的判定定理。其逆命题也分别成立，它们合称平行的性质定理。

定理2.6 $A_1A_2$ $B_1B_2$ $c$ $A_1A_2\parallel B_1B_2$ ，则同位角相等．

02-1-tongwei-1

证明 $A_1A_2$ $B_1B_2$ $c$ $A$ $B$ $A$ $A_1$ $A_2$ $B$ $B_1$ $B_2$ $A_1$ $B_1$ $c$ $BA$ $D$ $A_1A_2\parallel B_1B_2$ $\angle DAA_2=\angle DBB_2$ $\angle DAA_2>\angle DBB_2$ $\angle DAA_2$ $F$ $\angle DAF=\angle DBB_2$ $AF\parallel B_1B_2$ $A$ $B_1B_2$ $A_1A_2$ $AF$ $\Box$

由定理2.6以及其他定理可以很容易证明其他两个性质。

定理2.7 $a$ $b$ $c$ $a\parallel b$ $\Box$

定理2.8 $a$ $b$ $c$ $a\parallel b$ $\Box$

$180^\circ$ 。

定理2.9 $180^\circ$ ．

02-1-180

证明 $\triangle ABC$ $BC$ $D$ $C$ $\angle ACD$ $CE$ $CE\parallel AB$ $\angle DCE=\angle B$ $\angle ACE=\angle A$ $\angle A+\angle B+\angle ACB=\angle BCD=180^\circ$ $\Box$

由定理2.9很容易可得如下推论。

推论2.10 $\Box$

推论2.11 $60^\circ$ $60^\circ$ $\Box$

推论2.12 $n$ $180^\circ(n-2)$ $\Box$

推论2.13 $360^\circ$ $\Box$

2.2 四边形

四边形中不相邻的两边称为对边；四边形中不相邻的两个顶点的连线称为四边形的对角线；四边形四个内角中没有公共边的两个称为对角．两组对边分别平行的四边形称为平行四边形；一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形；梯形中相互平行的两边叫做上底和下底，不平行的两边叫做两个腰．使用平行的相关定理以及三角形全等的相关定理很容易证明如下性质定理和判定定理。

定理2.14 $\Box$

定理2.15 $\Box$

使用平行线的性质定理很容易证明如下定理。

定理2.16 $\Box$

从而可以定义平行线之间的距离为两平行线之间的垂线线段的长度．

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

定理2.17 （三角形的中位线定理）三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半。

03-zhongwei-1

证明 $\triangle ABC$ $D$ $E$ $AB$ $AC$ $DE\parallel BC$ $DE=\frac{1}{2}BC$ $C$ $CF\parallel AB$ $DE$ $F$ $DE$ $CF$ $CF\parallel AB$ $\angle A=\angle ECF$ $\angle AED=\angle CEF$ $AE=EC$ $\triangle AED\cong \triangle CEF$ $AD=CF$ $AD=BD$ $CF=BD$ $CF$ $BD$ $BDFC$ $DF$ $BC$ $\triangle AED\cong \triangle CEF$ $DE=EF$ $DE$ $BC$ $\Box$

类似可证梯形的中位线定理。

定理2.18 $\Box$

有一组邻边相等的四边形叫做菱形；有一个内角是直角的平行四边形，叫做矩形；有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形．很容易证明如下性质定理。

定理2.19 $\Box$

通过将直角三角形补成矩形，我们可以证明如下定理。

推论 2.20 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

证明 $\triangle ABC$ $\angle B$ $O$ $BC$ $BO=\frac{1}{2}AC$ $Rt\triangle ABC$ $ABCD$ $BD$ $O$ $AC$ $BD$ $BO=\frac{1}{2}BD$ $BD=AC$ $BO=\frac{1}{2}AC$ $\Box$

进一步我们还很容易证明如下判定定理。

定理2.21 $\Box$

定理2.22 $\Box$

定理2.23 $\Box$

2.3 面积和勾股定理

中学数学中并没有对面积进行严格的定义，只是采用直观体验和测量的方式引入，而具体计算面积时，则是相当于将矩形的面积公式视为一条公理。为此，我们定义矩形的两条邻边中，较长一边的长度为该矩形的长，较短一边的长度叫做该矩形的宽。而对于正方向来说，其各边长度均相等，因而称其边的长度为边长。

公理2.24 矩形的面积等于其长乘以其宽。

由此可以通过割补法给出三角形、正方形和菱形的面积公式

定理2.25 $\Box$

我们定义平行四边形和梯形的高为两个平行的对边之间的垂线段。那么仍然使用割补法很容易给出平行四边形和梯形的面积公式。

定理2.26 $\Box$

使用面积可以证明著名的勾股定理，下面的证明来自我国三国时期著名的数学家赵爽，他所做的这个辅助图被称为弦图，目前是中国数学会的标志。

定理2.27 $\triangle ABC$ $\angle C$ $A,B,C$ $a,b,c$ $a^2+b^2=c^2$ 。

03-gougu

证明 $a>b$ $Rt\triangle ABC$ $DEFG$ $IJKL$ $c$ $a-b$ $c^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+(a-b)^2=a^2+b^2$ $\Box$

使用勾股定理很容易证明垂线段定理。

定理2.28 $\Box$

因此，我们可以定义直线外一点到直线的距离为该点到直线的垂线段的长度。由此进一步可以证明勾股定理的逆定理也成立，这需要使用反证法和上述两个定理。

定理2.28 $\triangle ABC$ $A,B,C$ $a,b,c$ $a^2+b^2=c^2$ $\triangle ABC$ $\angle C$ $\Box$

当我们把勾股定理说清楚之后，我们就可以定义三角函数了（此处为锐角的三角函数，三角函数的推广出现在高中数学中）。

$Rt\triangle ABC$ $\angle C$ $A,B,C$ $a,b,c$ ．下面定义三个主要的三角函数。

$a/c$ $\angle A$ 正弦 $\sin \angle A$ ；
$b/c$ $\angle A$ 余弦 $\cos \angle A$ ；
$a/b$ $\angle A$ 正切 $\tan \angle A$ ．

以下性质是很容易证明的。

性质2.29 $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $Rt\triangle ABC$ $\angle A$ $\sin^2\angle A+\cos^2\angle A=1$ $\tan\angle A=\sin \angle A/\cos \angle A$ ．

还可以证明正弦定理和余弦定理。

定理2.30 $\triangle ABC$ $A,B,C$ $a,b,c$ 。则有

\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}.

证明 $A$ $BC$ $AH$ $H$ $AH=h$ 。则有

\sin \angle B=\frac{h}{c},~~\sin \angle C=\frac{h}{b},

$h=c\sin \angle B=b\sin \angle C$ $\frac{b}{\sin\angle B}=\frac{c}{\sin\angle C}$ $\frac{a}{\sin\angle A}=\frac{b}{\sin\angle B}$ $\Box$

定理2.31 $\triangle ABC$ $A,B,C$ $a,b,c$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle C$ 。

证明 $A$ $BC$ $AH$ $H$ $AH=h$ $H$ $BC$ $c^2=h^2+BH^2$ $b^2=h^2+CH^2$ 。二式作差可得：

c^2-b^2=a(a-2CH)=a^2-2a\cdot CH=a^2-2ab\cdot\cos\angle C.~~\Box

推论2.32 $\triangle ABC$ $A,B,C$ $a,b,c$ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$ $\Box$

推论2.33 $\triangle ABC$ $A,B,C$ $a,b,c$ $\triangle ABC$ $p$ 。则有

S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

证明由余弦定理可得，

\begin{aligned} &16p(p-a)(p-b)(p-c)\\ =&[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]\\ =&(b^2+c^2-a^2+2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc)\\ =&(2bc+2bc\cos\angle A)(2bc-2bc\cos \angle A)\\ =&4b^2c^2(1-\cos^2\angle A)=4b^2c^2\sin^2\angle A. \end{aligned}

$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{2}bc\sin \angle A=S_{\triangle ABC}$ $\Box$

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