第一讲 初等数学中的平面欧氏几何（上）

初等数学中的平面欧氏几何，实际上使用了一个减弱版希尔伯特体系，主要体现在：

1. 有大量的未加严格定义的概念以直观体验引入，同时也并不区分基本概念与其他概念；
2. 有大量的公理作为直观体验而默认，而且并不追求公理的独立性和完备性，只要没有矛盾即可；
3. 默认平移、旋转、轴反射不改变线段长度和角的大小；
4. 假定在同一个平面上讨论问题，所以所有命题都有一个前提：在平面上．

我们这里总结的体系要比中学数学教学中实际使用的体系更严格一些，这是因为中学数学教学教学要考虑中学生的认知发展水平与课程标准的要求．所以，我们这里所总结的体系在严谨性上介于中学实际使用的体系和希尔伯特体系之间．

1.1 点、直线、射线、线段、多边形

在中学数学中，点、线、直线、平面是未加严格定义的概念，通常以直观体验引入．

公理1.1（两点确定一直线） 经过两点有且仅有一条直线．

由于该公理成立，所以，对于任意直线$a$，我们可以用直线$a$上的两点$A,B$表示它，记作直线$AB$．如果直线$a,b$有公共点$A$，我们就说$a,b$相交于$A$，称$A$是$a,b$的交点．由直线的存在性公理很容易证明如下定理．

定理1.2 如果两条直线相交，那么它们有且仅有仅有一个公共点．

证明 设$a,b$是两条直线，$A$是$a,b$的公共点．假设$a,b$另有一个公共点$B$．那么经过$A,B$存在两条直线，这与直线的存在性公理矛盾．$\Box$

在中学数学中，射线和射线的方向并未严格给出定义，只是从直观上默认直线上一点可以将该直线分为两部分，其中任意一部分与该点在一起就构成了一条射线，而该点是射线的端点，射线上其他点是其内点，端点和内点指出了射线的方向．设射线$h$的端点为$A$，取$h$的任意一个内点$B$，那么射线$h$的方向就是从$A$指向$B$的，我们也称射线$h$为射线$AB$（注意，不能称之为射线$BA$）．

线段和长度也是未加严格定义的概念，只是在直观上默认射线上一个内点可以将射线分为两部分，其中一部分仍是射线，另一部分则是线段；线段有两个端点，不是端点的点就是线段的内点．设线段$a$的两个端点为$A$和$B$，那么我们也称线段$a$为线段$AB$．

设$AB$是一条线段．在$A$为端点以$B$为内点的射线上取一内点$C$，我们就说射线$BC$是线段$AB$的延长线；类似地，在以$B$为端点以$A$为内点的射线上取一内点$D$，我们就说射线$AD$是$BA$的延长线．

设$AB$是一条线段，$C_1,C_2,\dots,C_{n-1}$是线段$AB$的内点．如果$C_1,C_2,\dots,C_{n-1}$将线段$AB$分成相等长度的$n$个线段，则称$C_1,C_2,\dots,C_{n-1}$是线段$AB$的$n$等分点；特别地，线段的2等分点通常称为中点．

公理1.3 （线段最短） 所有连接两点的线中，线段最短．

如果若干个点、线段、射线都落在同一条直线上，我们就说它们共线．

如果将平面上不共线的$n$条线段首尾相接能构成一个封闭图形，那么我们就称这个封闭图形是平面$n$边形，也称为平面多边形，简称为$n$边形或多边形；这$n$条线段叫做该多边形的边；边的端点叫做该多边形的顶点；共用同一个顶点的两个边叫做邻边；所有的边构成该多边形的边界；边界所封闭的区域（不包括边界）叫做该多边形的内部；边界以外区域叫做该多边形的外部；边界上的点、内部的点、外部的点分别叫做该多边形的界点、内点、外点．

如果一个多边形任意两个界点的连线都不在这个多边形的外部，那么我们就说这个多边形是凸多边形．中学平面几何所讨论的多边形一般特指凸多边形，以下所说的多边形特指凸多边形．

特别地，三边形通常叫做三角形；顶点为$A,B,C$的三角形通常记作$\triangle ABC$．使用公理1.3（线段最短）很容易证明三角形的如下性质．

定理1.4 三角形两边之和大于第三边．三角形两边之差小于第三边．

1.2 角和垂直

设$h$和$k$是两条有公共端点$O$的射线．那么由$h$和$k$所构成的图形就叫做角，记作$\angle (h,k)$，其中$O$叫做$\angle(h,k)$的顶点，$h$和$k$叫做$\angle(h,k)$的两个边；取$h$上异于$O$的一点$A$，取$k$上异于$O$的一点$B$，那么$\angle(h,k)$也记作$\angle AOB$；如果$A,O,B$三点共线，那么所得的角叫平角．设$\angle AOB$不是平角．射线$OA$和$OB$将整个平面分为两部分，其中包含线段$AB$内点的部分叫做$\angle AOB$的内部，另一侧叫外部；平角不区分内部和外部．

为了方便，我们也经常说：“记$\angle AOB$为$\angle 1$ ”，“记$\angle AOB$为$\angle2$ ”等，这只是给$\angle AOB$另外起了一个名字而已．在不引起混淆的前提下，也可以将$\angle AOB$简记作$\angle O$．

中学数学中没有严格几何图形的运动，只是从直观上默认几何图形在平面上的运动不改变其形状．

如果对平面上的两个角经过适当的运动，可以将二者完全重合，则称这两个角相等；$\angle(h,k)$与$\angle(h',k')$相等，记作$\angle(h,k)=\angle(h',k')$．

作射线$OC$，使其内点在$\angle AOB$内部（我们也说在$\angle AOB$内部作射线$OC$），那么我们会得到两个新的角，即$\angle AOC$和$\angle BOC$．我们说$\angle AOC$和$\angle BOC$都是小于$\angle AOB$的角，同时我们规定所有与小于$\angle AOB$的角相等的角也是小于$\angle AOB$的角；$\angle 1$小于$\angle 2$，记作$\angle 1<\angle 2$；另外，由于$\angle AOC$和$\angle BOC$恰好拼成了$\angle AOB$，所以我们也说$\angle AOC+\angle BOC=\angle AOB$；如果$\angle AOC=\angle BOC$，那么我们就说$OC$是$\angle AOB$的平分线．如果$\angle AOB$内部的射线$OC_1,OC_2,\dots,OC_{n-1}$使得$\angle AOB$被分成$n$个相等的角，我们就说射线$OC_1$，$OC_2$，$\dots$，$OC_{n-1}$是$\angle AOB$的$n$等分线．

设$\angle AOB$是一个平角，如果存在以$O$为端点的一条射线$OC$，不妨设射线$OA,OB,OC$可以构成$\angle AOC$和$\angle BOC$两个角，使得$\angle AOC=\angle BOC$，那么我们就说这两个角是直角，也说直线$OC$垂直于$AB$，或者说直线$OC$是直线$AB$的垂线，称$O$为垂足．

从这个定义出发，并不能保证垂线的存在性和唯一性，其存在性是由如下公理保证的．

公理1.5 在平面上，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．

由于所有的平角都相等，所以所有的直角都相等．

我们把直角90等分，所得到的每个等角叫做1度的角；我们把1度的角60等分，所得到的每个等角叫做1分的角；我们把1分的角60等分，所得到的每个等角叫做1秒的角．1度、1分、1秒分别记作$1^\circ$、$1'$、$1''$．显然直角是$90^\circ$的角．由于平角由两个直角构成，我们规定平角是$180^\circ$的角．小于$90^\circ$的角叫锐角，大于$90^\circ$而小于$180^\circ$的角叫钝角．如果$\angle 1+\angle2=90^\circ$，那么我们就说$\angle 1$与$\angle 2$互为余角，简称互余．如果$\angle 1+\angle2=180^\circ$，那么我们就说$\angle 1$与$\angle 2$互为补角，简称互补．显然，等角的余角相等，等角的补角相等．

注：平面几何在初中学习，初中所学的角仅限于$0^\circ\sim180^\circ$的角，我们这里遵循这一约定；事实上，小于$0^\circ$的角和大于$180^\circ$的角是在高中通过向量的旋转拓展出的。

相交直线所成的四个角中，如果两个角没有公共边，那么我们说它们互为对顶角．由于等角的补角相等，所以对顶角相等．

1.3 三角形全等

对一个多边形来说，以它的两条邻边为边的角叫做它的内角；以该多边形的一边及其邻边延长线为边的角叫做该多边形的外角．如果一个内角与一个外角共用多边形的一边为边，那么这两个角显然互补．多边形的内角通常简称为多边形的角．

在平面上，设$\Omega_1$和$\Omega_2$是两个$n$边形．如果适当的运动后，两个$n$边形能重合，那么就称$\Omega_1$和$\Omega_2$是两个全等的$n$边形，记作$\Omega_1\cong\Omega_2$，其中对应重合的顶点、边、角，分别称为对应顶点、对应边、对应角．

如果两个多边形全等，那么对应角显然相等，对应边显然相等．

由于多边形总可以分割为有限个三角形，所以多边形全等可以化归为三角形全等．

公理1.6 （边角边法则）在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，如果$AB=A'B'$，$\angle A=\angle A'$且$BC=B'C'$，那么$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．

使用公理1.6（边角边法则）可以证明如下著名的结论．

定理1.7 三角形外角大于不相邻的内角．

证明 设$\triangle ABC$是一个三角形．延长$BC$至$F$，下证：$\angle ACF>\angle BAC$．取$AC$中点$D$，连接$BD$并延长至$E$，使得$DE=DB$，连接$CE$．由边角边法则可知：$\triangle ADB\cong \triangle CDE$．所以$\angle BAC=\angle ACE<\angle ACF$，所以$\angle ACF>\angle BAC$．$\Box$

使用公理1.6（边角边法则）和定理1.7可以证明关于三角形全等的角角边法则．

定理1.8 （角角边法则）在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，如果$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$且$BC=B'C'$，那么$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．

证明 如果$AB=A'B'$，那么由边角边法则可知，$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．所以以下只需证明$AB=A'B'$即可．假设$AB\ne A'B'$，不妨设$AB>A'B'$．在$AB$上取一点$A_1$，使得$A_1B=A'B'$，那么$A_1$是$AB$的内点．因为$A_1B=A'B'$，$\angle B=\angle B'$并且$BC=B'C'$，所以$\triangle A_1BC\cong \triangle A'B'C'$，所以$\angle BA_1C=\angle A'$．由已知条件知$\angle A'=\angle BAC$，所以$\angle BAC=\angle A'=\angle BA_1C$．这与定理1.7矛盾．$\Box$

使用类似的方法，我们还可以证明角边角法则．

定理1.9 （角边角法则）在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，如果$\angle B=\angle B'$，$BC=B'C'$且$\angle C=\angle C'$，那么$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．

证明 如果$AB=A'B'$，那么由边角边法则可知，$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．所以以下只需证明$AB=A'B'$即可．假设$AB\ne A'B'$，不妨设$AB>A'B'$．在$AB$上取一点$A_1$，使得$A_1B=A'B'$，那么$A_1$是$AB$的内点．因为$A_1B=A'B'$，$\angle B=\angle B'$并且$BC=B'C'$，所以$\triangle A_1BC\cong \triangle A'B'C'$，所以$\angle A_1CB=\angle C'$．由已知条件知$\angle C'=\angle ACB$，所以$\angle A_1CB=\angle ACB$，这将导致$A$与$A_1$重合，从而$AB=A_1B=A'B'$，这与假设矛盾．$\Box$

有两边相等的三角形叫等腰三角形；其中相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底；腰所对的内角叫等腰三角形的底角，底所对的角等腰三角形的顶角；三个边都相等的三角形叫等边三角形．

使用角边角法则，我们还可以证明如下著名结论．

定理1.10 等腰三角形底角相等；等边三角形三个内角都相等．

证明 只需证明等腰三角形底角相等即可．设$\triangle ABC$中$AB=AC$，下证$\angle ABC=\angle ACB$．过$A$作$\angle BAC$的平分线，交$BC$于$D$．由边角边法则可知，$\triangle ADB\cong \triangle ADC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$．$\Box$

使用定理1.10和角边角法则，我们可以证明三角形全等的边边边法则．

定理1.11 （边边边法则）在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，如果$AB=A'B'$，$BC=B'C'$且$AC=A'C'$，那么$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．

证明 在$\triangle ABC$的外部作一点$A_1$使得$\angle CBA_1=\angle C'B'A'$且$\angle BCA_1=\angle B'C'A'$．又因为$BC=B'C'$，所以$\triangle A_1BC\cong \triangle A'B'C'$，所以$A_1B=A'B'=AB$，$A_1C=A'C'=AC$，所以当我们连接$AA_1$之后所得两个三角形，即$\triangle ABA_1$和$\triangle ACA_1$是等边三角形，由定理1.10可知，$\angle BAA_1=BA_1A$且$\angle CAA_1=\angle CA_1A$，所以$\angle BAC=\angle BA_1C$．又因为$\angle BA_1C=B'A'C'$，所以$\angle BAC=\angle B'A'C'$，所以$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．$\Box$

有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角三角形$ABC$可以记作$Rt\triangle ABC$；直角三角形中构成直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形．

使用定理1.10和其他几个定理，我们可以证明直角三角形全等的直角边斜边法则．

定理1.12 （直角边斜边法则） 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\angle B$和$\angle B'$是直角．如果$AB=A'B'$并且$AC=A'C'$，那么$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$．

证明 在$\triangle ABC$的外部取一点$C_1$使得$\angle BAC_1=B'A'C'$且$AC_1=A'C'$，连接$AC_1$和$BC_1$．那么由角边角法则可知，$\triangle ABC_1\cong\triangle A'B'C'$，所以$\angle ABC_1=\angle B'=90^\circ$，所以$C,B,C_1$共线．又因为$AC=A'C'=AC_1$，所以$\triangle ACC_1$是等腰三角形．由定理1.10可知，$\angle C=\angle C_1$．由角边角法则可知，$\triangle ABC\cong \triangle ABC_1$，所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$．

设$A$是三角形的一个顶点，$a$是$A$的对边．过$A$作$a$的垂线，那么顶点$A$与该垂足之间的线段叫做$a$上的高；连接$A$与$a$中点的线段叫做$a$的中线；作$\angle A$的平分线交$a$于$D$，那么线段$AD$叫做$\angle A$的角平分线．使用定理1.10，我们还可以很容易证明等腰三角形的三线合一性．

定理1.13 等腰三角形底上的高、中线与顶角平分线，三线合一．$\Box$

实际上，使用角边角法则以及等角的余角相等很容易证明定理1.10的逆命题成立．

定理1.14 有两个内角相等的三角形是等腰三角形．

使用前述定理我们还能证明如下著名结论．

定理1.15 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．

证明 设$\triangle ABC$是一个三角形，下面证明：

1. 如果$AB>AC$，那么$\angle ACB>\angle ABC$；
2. 如果$\angle ACB>\angle ABC$，那么$AB>AC$．

（1）设$AB>AC$．在$AB$上取一点$D$，使得$AD=AC$．那么由定理1.10可知，$\angle ADC=\angle ACD<\angle ACB$．由定理1.7可知，$\angle ABC<\angle ADC$，所以$\angle ABC<\angle ACB$．

（2）设$\angle ACB>\angle ABC$．假设$AB>AC$不成立．如果$AB=AC$，那么由定理1.10可知$\angle ACB=\angle ABC$，矛盾．如果$AB<AC$，那么由（1）可知，$\angle ABC>\angle ACB$，矛盾． $\Box$

过线段中点作的垂线叫做这个线段的中垂线，或垂直平分线．借助三角形全等还可以很容易证明中垂线的性质和判定定理．

定理1.16 线段中垂线上的点到线段两端点距离相等；到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上．$\Box$

类似地，可以证明角平分线的性质和判定定理．

定理1.17 角平分线上的点到角两边距离相等；在一个角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．$\Box$